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Super langsame Computerprogramme enthüllen die grundlegenden Grenzen von Math

Aug 13, 2020 ,
Super langsame Computerprogramme enthüllen die grundlegenden Grenzen von Math

Programmierer wollen normalerweise

um die Zeit zu minimieren, die der Code für die Ausführung benötigt. 1962 stellte der ungarische Mathematiker Tibor Radó das gegenteilige Problem. Er fragte: Wie lange kann ein einfaches Computerprogramm möglicherweise ausgeführt werden, bevor es beendet wird? Radó nannte diese maximal ineffizienten, aber immer noch funktionierenden Programme „beschäftigte Biber“.

Originalgeschichte mit freundlicher Genehmigung von Quanta Magazine , an redaktionell unabhängige Veröffentlichung der Simons Foundation, deren Aufgabe es ist, das öffentliche Verständnis der Wissenschaft zu verbessern, indem Forschungsentwicklungen und -trends in den Bereichen Mathematik sowie Physik und Biowissenschaften behandelt werden.

Finden dieser Programme sind ein teuflisch ablenkendes Rätsel für Programmierer und andere mathematische Hobbyisten, seit sie in „“ Scientific American „Computer Recreations“ populär gemacht wurden. Kolumne im Jahr 1984. Aber in den letzten Jahren ist das so genannte geschäftige Biberspiel zu einem eigenständigen Untersuchungsobjekt geworden, weil es Verbindungen zu einigen der höchsten Konzepte und offenen Probleme in der Mathematik hervorgebracht hat.

„In der Mathematik gibt es eine sehr durchlässige Grenze zwischen dem, was eine amüsante Erholung ist und dem, was tatsächlich wichtig ist“, sagte Scott Aaronson, ein theoretischer Informatiker an der Universität von Texas , Au stin, der kürzlich eine Übersicht über die Fortschritte in „BusyBeaverology“ veröffentlicht hat.

Die jüngste Arbeit legt nahe, dass die Suche nach lang laufenden Computerprogrammen den Stand des mathematischen Wissens beleuchten kann und sagen Sie uns sogar, was erkennbar ist. Laut Forschern bietet das geschäftige Biberspiel einen konkreten Maßstab für die Bewertung der Schwierigkeit bestimmter Probleme, wie der ungelösten Goldbach-Vermutung und der Riemann-Hypothese. Es bietet sogar einen Einblick, wo das logische Fundament der Mathematik zusammenbricht. Der Logiker Kurt Gödel hat vor fast einem Jahrhundert die Existenz einer solchen mathematischen Terra Incognita nachgewiesen. Aber das geschäftige Biberspiel kann zeigen, wo es tatsächlich auf einer Zahlenlinie liegt, wie eine alte Karte, die den Rand der Welt darstellt.

Ein nicht berechenbares Computerspiel

In dem geschäftigen Biberspiel dreht sich alles um das Verhalten von Turing-Maschinen – den primitiven, idealisierten Computern, die 1936 von Alan Turing entworfen wurden. Eine Turing-Maschine führt Aktionen auf einem endlosen Streifen aus Klebeband in Quadrate unterteilt. Dies geschieht nach einer Liste von Regeln. Die erste Regel könnte lauten:

Wenn das Quadrat eine 0 enthält, ersetzen Sie es durch eine 1 und bewegen Sie sich ein Quadrat nach rechts und konsultiere Regel 2. Wenn das Quadrat eine 1 enthält, verlasse die 1, bewege ein Quadrat nach links und konsultiere Regel 3.

Jede Regel hat diesen Gabel-Stil, bei dem Sie Ihr eigenes Abenteuer wählen können. Einige Regeln besagen, dass zu früheren Regeln zurückgekehrt werden soll. Schließlich gibt es eine Regel, die eine Anweisung zum „Anhalten“ enthält. Turing hat bewiesen, dass diese einfache Art von Computer in der Lage ist, jede mögliche Berechnung mit den richtigen Anweisungen und genügend Zeit durchzuführen.

Wie Turing 1936 feststellte, um Wenn Sie etwas berechnen, muss eine Turing-Maschine irgendwann anhalten – sie kann nicht in einer Endlosschleife gefangen werden. Er hat aber auch bewiesen, dass es keine zuverlässige, wiederholbare Methode gibt, um Maschinen, die anhalten, von Maschinen zu unterscheiden, die einfach für immer laufen – eine Tatsache, die als Stoppproblem bekannt ist.

Die Beschäftigten Das Biberspiel fragt: Wie viele Schritte kann eine Turing-Maschine bei einer bestimmten Anzahl von Regeln maximal ausführen, bevor sie anhält?

Zum Beispiel, wenn Sie es sind Nur eine Regel erlaubt, und Sie möchten sicherstellen, dass die Turing-Maschine anhält. Sie müssen die Stopp-Anweisung sofort einfügen. Die beschäftigte Bibernummer einer Ein-Regel-Maschine oder BB (1) ist daher 1.

Wenn Sie jedoch nur ein paar weitere Regeln hinzufügen, wird die Nummer sofort vergrößert von Maschinen zu berücksichtigen. Von 6.561 möglichen Maschinen mit zwei Regeln ist diejenige, die am längsten läuft – sechs Schritte – vor dem Anhalten, der beschäftigte Biber. Aber einige andere rennen einfach für immer. Keiner von diesen ist der beschäftigte Biber, aber wie schließen Sie sie definitiv aus? Turing hat bewiesen, dass es keine Möglichkeit gibt, automatisch zu erkennen, ob eine Maschine, die tausend oder eine Million Schritte lang läuft, nicht irgendwann beendet wird.

Deshalb ist es wichtig, beschäftigte Biber zu finden so schwer. Es gibt keinen allgemeinen Ansatz, um die am längsten laufenden Turing-Maschinen mit einer beliebigen Anzahl von Anweisungen zu identifizieren. Sie müssen die Besonderheiten jedes Falles für sich herausfinden. Mit anderen Worten, das geschäftige Biberspiel ist im Allgemeinen „nicht berechenbar“.

Der Beweis, dass BB (2)=6 und BB (3)=107 war, war schwierig genug für Radós Schüler Shen Lin promovierte 1965 für die Arbeit. Radó hielt BB (4) für „völlig hoffnungslos“, aber der Fall wurde 1983 endgültig gelöst. Darüber hinaus explodieren die Werte praktisch; Forscher haben beispielsweise eine Turing-Maschine mit fünf Regeln identifiziert, die vor dem Anhalten 47.176.870 Schritte ausführt, sodass BB (5) mindestens so groß ist. BB (6) ist mindestens 7,4 × 10 36.534 . Der Nachweis der genauen Werte „erfordert neue Ideen und neue Erkenntnisse, wenn dies überhaupt möglich ist“, sagte Aaronson.

Schwelle der Unkenntnis

William Gasarch, Informatiker an der University of Maryland, College Park, sagte, er sei weniger fasziniert von der Aussicht, vielbeschäftigte Biberzahlen festzuhalten, als von „dem allgemeinen Konzept, dass es tatsächlich nicht berechenbar ist . ” Er und andere Mathematiker sind hauptsächlich daran interessiert, das Spiel als Maßstab zu verwenden, um die Schwierigkeit wichtiger offener Probleme in der Mathematik einzuschätzen – oder um herauszufinden, was überhaupt mathematisch erkennbar ist.

Die Goldbach-Vermutung fragt zum Beispiel, ob jede gerade ganze Zahl größer als 2 die Summe zweier Primzahlen ist. Die Vermutung wahr oder falsch zu beweisen, wäre ein epochales Ereignis in der Zahlentheorie, das es Mathematikern ermöglicht, die Verteilung von Primzahlen besser zu verstehen. Im Jahr 2015 veröffentlichte ein anonymer GitHub-Benutzer namens Code Golf Addict Code für eine Turing-Maschine mit 27 Regeln, die genau dann anhält, wenn die Goldbach-Vermutung falsch ist. Es funktioniert, indem alle geraden ganzen Zahlen größer als 4 nach oben gezählt werden. Für jeden wird alle möglichen Wege durchgearbeitet, um diese Ganzzahl zu erhalten, indem zwei weitere hinzugefügt werden, um zu überprüfen, ob das Paar eine Primzahl ist. Wenn es ein geeignetes Paar von Primzahlen findet, bewegt es sich zur nächsten geraden Ganzzahl und wiederholt den Vorgang. Wenn es eine gerade Ganzzahl findet, die nicht durch ein Paar von Primzahlen summiert werden kann, wird es angehalten.

Das Ausführen dieser sinnlosen Maschine ist kein praktischer Weg Löse die Vermutung, denn wir können nicht wissen, ob sie jemals aufhören wird, bis sie es tut. Aber das geschäftige Biberspiel beleuchtet das Problem. Wenn es möglich wäre, BB (27) zu berechnen, würde dies eine Obergrenze dafür liefern, wie lange wir warten müssten, bis die Goldbach-Vermutung automatisch beigelegt wird. Dies liegt daran, dass BB (27) der maximalen Anzahl von Schritten entspricht, die diese Turing-Maschine mit 27 Regeln ausführen müsste, um anzuhalten (falls dies jemals der Fall sein sollte). Wenn wir diese Zahl kennen würden, könnten wir die Turing-Maschine für genau so viele Schritte laufen lassen. Wenn es zu diesem Zeitpunkt aufhören würde, würden wir wissen, dass die Goldbach-Vermutung falsch war. Aber wenn es so viele Schritte ging und nicht anhielt, würden wir mit wissen, dass es niemals passieren würde – was die Vermutung als wahr erweist.

Das Problem ist dass BB (27) eine so unverständlich große Zahl ist, dass es in unserem physischen Universum nicht aus der Ferne möglich ist, sie aufzuschreiben, geschweige denn die Goldbach-Fälschungsmaschine für so viele Schritte laufen zu lassen. Trotzdem ist diese unverständlich große Zahl immer noch eine exakte Zahl, deren Größe laut Aaronson „eine Aussage über unser aktuelles Wissen“ über die Zahlentheorie darstellt.

2016 Aaronson erzielte in Zusammenarbeit mit Yuri Matiyasevich und Stefan O’Rear ein ähnliches Ergebnis. Sie identifizierten eine Turingmaschine mit 744 Regeln, die genau dann anhält, wenn die Riemann-Hypothese falsch ist. Die Riemann-Hypothese betrifft auch die Verteilung von Primzahlen und ist eines der „Millennium-Probleme“ des Clay Mathematics Institute im Wert von 1 Million US-Dollar. Die Maschine von Aaronson liefert eine automatische Lösung in BB (744) -Schritten. (Es funktioniert im Wesentlichen nach dem gleichen sinnlosen Verfahren wie die Goldbach-Maschine und iteriert nach oben, bis ein Gegenbeispiel gefunden wird.)

Natürlich ist BB (744) eine Gerade unerreichbar große Zahl als BB (27). Wenn Sie jedoch daran arbeiten, etwas Einfacheres wie BB (5) zu bestimmen, „könnten tatsächlich einige neue Fragen der Zahlentheorie auftauchen, die für sich genommen interessant sind“, sagte Aaronson. Zum Beispiel hat der Mathematiker Pascal Michel 1993 bewiesen, dass die rekordverdächtige Turing-Maschine mit fünf Regeln ein ähnliches Verhalten aufweist wie die in der Collatz-Vermutung beschriebene Funktion, ein weiteres bekanntes offenes Problem in der Zahlentheorie.

„So viel Mathematik kann als die Frage verschlüsselt werden: ‚Hält diese Turing-Maschine an oder nicht?'“, Sagte Aaronson. „Wenn Sie alle geschäftigen Biberzahlen kennen, können Sie all diese Fragen klären.“

In jüngerer Zeit hat Aaronson einen von geschäftigen Bibern abgeleiteten Maßstab verwendet zu messen, was er „die Schwelle der Unkenntnis“ für ganze mathematische Systeme nennt. Gödels berühmte Unvollständigkeitssätze von 1931 haben bewiesen, dass jede Menge grundlegender Axiome, die als mögliche logische Grundlage für die Mathematik dienen könnten, zu einem von zwei Schicksalen verurteilt ist: Entweder sind die Axiome inkonsistent und führen zu Widersprüchen (wie der Beweis, dass 0=1), oder sie sind unvollständig und können keine wahren Aussagen über Zahlen beweisen (wie die Tatsache, dass 2 + 2=4). Das axiomatische System, das fast der gesamten modernen Mathematik zugrunde liegt und als Zermelo-Fraenkel (ZF) -Satztheorie bekannt ist, hat seine eigenen Gödelschen Grenzen – und Aaronson wollte das geschäftige Biberspiel nutzen, um festzustellen, wo sie sich befinden.

2016 spezifizierten er und sein Doktorand Adam Yedidia eine Turing-Maschine mit 7.910 Regeln, die nur dann anhalten würde, wenn die ZF-Mengenlehre inkonsistent wäre. Dies bedeutet, dass BB (7.910) eine Berechnung ist, die sich den Axiomen der ZF-Mengenlehre entzieht. Diese Axiome können nicht verwendet werden, um zu beweisen, dass BB (7.910) eine Zahl anstelle einer anderen darstellt, was so ist, als könnte man nicht beweisen, dass 2 + 2=4 statt 5.

O’Rear entwickelte daraufhin eine viel einfachere 748-Regelmaschine, die anhält, wenn ZF inkonsistent ist – und im Wesentlichen die Schwelle der Unkenntnis von BB (7.910) auf BB (748) näher rückt. „Das ist eine Art dramatische Sache, dass die Zahl ist nicht ganz lächerlich “, sagte Harvey Friedman, ein mathematischer Logiker und emeritierter Professor an der Ohio State University. Friedman glaubt, dass die Zahl noch weiter gesenkt werden kann: „Ich denke, vielleicht ist 50 die richtige Antwort.“ Aaronson vermutet, dass der wahre Schwellenwert so nahe wie BB (20) liegen kann.

Ob nah oder fern, solche Schwellenwerte der Unkenntnis existieren definitiv. „Dies ist die Vision der Welt, die wir seit Gödel hatten“, sagte Aaronson. „Die beschäftigte Biberfunktion ist eine andere Möglichkeit, sie konkret zu machen.“

Originalgeschichte mit Genehmigung von Quanta Magazine, eine redaktionell unabhängige Veröffentlichung der Simons Foundation, deren Aufgabe es ist, das Verständnis der Öffentlichkeit für die Wissenschaft zu verbessern, indem Forschungsentwicklungen und Trends in Mathematik und Mathematik behandelt werden die physikalischen und Biowissenschaften.


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