Wie Fraktale funktionieren
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Wie Fraktale funktionieren

Fraktale sind ein Paradoxon. Erstaunlich einfach und doch unendlich komplex. Neu, aber älter als Dreck. Was sind Fraktale? Wo kommst du her? Warum sollte es mich interessieren?

Der unkonventionelle Mathematiker des 20. Jahrhunderts, Benoit Mandelbrot, schuf den Begriff Fraktal aus dem lateinischen Wort Fraktus (bedeutet unregelmäßig oder fragmentiert) im Jahr 1975. Diese unregelmäßigen und fragmentierten Formen sind überall um uns herum. Im einfachsten Fall sind Fraktale ein visueller Ausdruck eines sich wiederholenden Musters oder einer sich wiederholenden Formel, die einfach beginnt und zunehmend komplexer wird.

Eine der frühesten Anwendungen von Fraktalen kam lange bevor der Begriff überhaupt verwendet wurde. Lewis Fry Richardson war ein englischer Mathematiker im frühen 20. Jahrhundert, der die Länge der englischen Küste studierte. Er argumentierte, dass die Länge einer Küstenlinie von der Länge des Messwerkzeugs abhängt. Messen Sie mit einem Maßstab, Sie erhalten eine Zahl, aber messen Sie mit einem detaillierteren fußlangen Lineal, das mehr Unregelmäßigkeiten an der Küste berücksichtigt, und Sie erhalten eine größere Zahl und so weiter.

Wenn Sie dies zu seiner logischen Schlussfolgerung führen, erhalten Sie eine unendlich lange Küste mit einem endlichen Raum, das gleiche Paradoxon, das Helge von Koch in der Koch-Schneeflocke aufgestellt hat. Bei diesem Fraktal wird ein Dreieck genommen und das mittlere Drittel jedes Segments so in eine dreieckige Erhebung verwandelt, dass das Fraktal symmetrisch wird. Jede Erhebung ist natürlich länger als das ursprüngliche Segment, enthält jedoch immer noch den endlichen Raum darin.

Seltsam, aber anstatt auf eine bestimmte Zahl zu konvergieren, bewegt sich der Umfang in Richtung Unendlichkeit. Mandelbrot erkannte dies und untersuchte anhand dieses Beispiels das Konzept der fraktalen Dimension, um zu beweisen, dass das Messen einer Küstenlinie eine Annäherungsübung ist .

Wenn es die ganze Zeit wirklich Fraktale gegeben hat, warum haben wir dann erst in den letzten 40 Jahren oder so davon gehört?

Fraktale Terminologie

Bevor wir näher darauf eingehen, müssen wir einige grundlegende Begriffe behandeln, die Ihnen helfen, die einzigartigen Eigenschaften zu verstehen, die Fraktale besitzen.

Alle Fraktale zeigen einen gewissen Grad an sogenannter Selbstähnlichkeit

. Dies bedeutet, dass Sie bei näherer Betrachtung der Details eines Fraktals eine Nachbildung des Ganzen sehen können. Ein Farn ist ein klassisches Beispiel. Schau dir den ganzen Wedel an. Sehen Sie die Zweige, die aus dem Hauptstamm herauskommen? Jeder dieser Zweige ähnelt dem gesamten Wedel. Sie sind dem Original selbst ähnlich, nur in kleinerem Maßstab.

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Diese selbstähnlichen Muster sind das Ergebnis einer einfachen Gleichung oder einer mathematischen Aussage. Fraktale werden durch Wiederholen dieser Gleichung durch eine Rückkopplungsschleife in einem Prozess namens Iteration

erstellt , wobei die Ergebnisse einer Iteration den Eingabewert für die nächste bilden. Wenn Sie sich beispielsweise das Innere einer Nautilusschale ansehen, werden Sie feststellen, dass jede Kammer der Schale im Grunde eine Kopie der vorhergehenden Kammer ist, nur kleiner, wenn Sie sie von außen nach innen verfolgen.

Fraktale sind auch rekursiv, unabhängig vom Maßstab. Gehen Sie jemals in die Umkleidekabine eines Geschäfts und finden Sie sich von Spiegeln umgeben? Ob gut oder schlecht, Sie betrachten ein unendlich rekursives Bild von sich selbst.

Zum Schluss noch ein Hinweis zur Geometrie. Den meisten von uns wurde beigebracht, dass Länge, Breite und Höhe die drei Dimensionen sind, und das ist es auch. Die fraktale Geometrie wirft diesem Konzept eine Kurve, indem unregelmäßige Formen in der fraktalen Dimension erstellt werden ; Die fraktale Dimension einer Form ist ein Weg, um die Komplexität dieser Form zu messen.

Nehmen wir nun all das, und wir können deutlich sehen, dass a reines Fraktal ist eine geometrische Form Selbstähnlich durch unendliche Iterationen in einem rekursiven Muster und durch unendliche Details. Einfach, richtig? Keine Sorge, wir werden alle Teile früh genug durchgehen.

Bevor sie Fraktale waren

Wenn die meisten Leute darüber nachdenken Fraktale, sie denken oft an das berühmteste von allen, das Mandelbrot-Set. Benannt nach dem Mathematiker Benoit Mandelbrot, ist es praktisch zum Synonym für das Konzept der Fraktale geworden. Aber es ist weit davon entfernt, das einzige Fraktal in der Stadt zu sein.

Wir haben bereits den Farn erwähnt, der eines der einfachen und begrenzten Fraktale der Natur darstellt. Begrenzte Fraktale gehen nicht auf unbestimmte Zeit weiter. Sie zeigen nur wenige Iterationen kongruenter Formen. Einfache und begrenzte Fraktale sind auch in ihrer Selbstähnlichkeit nicht exakt – die Blättchen eines Farns ahmen möglicherweise die Form des größeren Wedels nicht perfekt nach. Die Spirale einer Muschel und die Kristalle einer Schneeflocke sind zwei weitere klassische Beispiele für diese Art von Fraktal in der Natur. Obwohl sie mathematisch nicht genau sind, haben sie dennoch einen fraktalen Charakter.

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) Frühe afrikanische und Navajo-Künstler bemerkten die Schönheit dieser rekursiven Muster und versuchten, sie in vielen Aspekten ihres Alltags zu emulieren, einschließlich Kunst und Stadtplanung [sources: Eglash, Bales]. Wie in der Natur war die Anzahl der rekursiven Iterationen jedes Musters durch die Größe des Materials begrenzt, mit dem sie arbeiteten.

Leonardo da Vinci sah dies ebenfalls Muster in Ästen, als Äste wuchsen und sich in weitere Äste aufspalteten [source: Da Vinci]. Der japanische Künstler Katsushika Hokusai schuf 1820 „The Great Wave Off Kanagawa“, eine farbenfrohe Darstellung einer großen Ozeanwelle, bei der die Spitze in immer kleinere (selbstähnliche) Wellen zerfällt .

Schließlich kamen auch Mathematiker auf die Bühne. Gaston Julia hatte die Idee, im frühen 20. Jahrhundert eine Rückkopplungsschleife zu verwenden, um ein sich wiederholendes Muster zu erzeugen. Georg Cantor experimentierte in den 1880er Jahren mit Eigenschaften rekursiver und selbstähnlicher Mengen, und 1904 veröffentlichte Helge von Koch das Konzept einer unendlichen Kurve mit ungefähr derselben , jedoch mit einer durchgehenden Linie. Und natürlich haben wir bereits erwähnt, dass Lewis Richardson Kochs Idee untersucht, während er versucht, die englischen Küsten zu messen.

Diese Untersuchungen zu solch komplexer Mathematik waren größtenteils theoretisch. jedoch. Zu dieser Zeit fehlte eine Maschine, die in der Lage war, die Grunzarbeit so vieler mathematischer Berechnungen in angemessener Zeit auszuführen, um herauszufinden, wohin diese Ideen wirklich führten. Mit der Entwicklung der Leistungsfähigkeit von Computern entwickelte sich auch die Fähigkeit von Mathematikern, diese Theorien zu testen.

Im nächsten Abschnitt werden wir uns mit der Mathematik befassen hinter fraktaler Geometrie.

Mathematik hinter der Schönheit

Wir denken an Berge und andere Objekte in der realen Welt drei Dimensionen. In der euklidischen Geometrie weisen wir der Länge, Höhe und Breite eines Objekts Werte zu und berechnen basierend auf diesen Werten Attribute wie Fläche, Volumen und Umfang. Aber die meisten Objekte sind nicht einheitlich; Berge haben zum Beispiel gezackte Kanten. Die fraktale Geometrie ermöglicht es uns, die Komplexität einer Form genauer zu definieren und zu messen, indem wir quantifizieren, wie rau ihre Oberfläche ist. Die gezackten Kanten dieses Berges können mathematisch ausgedrückt werden: Geben Sie die fraktale Dimension ein, die per Definition größer oder gleich der euklidischen (oder topologischen) Dimension eines Objekts ist (D=> D

T ).

Eine relativ einfache Methode zur Messung ist die Box-Counting-Methode (oder Minkowski-Bouligand-Dimension). Um es zu versuchen, legen Sie ein Fraktal auf ein Stück Rasterpapier. Je größer das Fraktal und das Rasterpapier detaillierter ist, desto genauer ist die Dimensionsberechnung.

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D=log N / log (1 / h)

In dieser Formel D ist die Dimension, N ist die Anzahl der Gitter Kästchen, die einen Teil des Fraktals enthalten, und h ist die Anzahl der Gitterblöcke, die die Fraktale auf dem Millimeterpapier überspannen. Obwohl diese Methode einfach und zugänglich ist, ist sie nicht immer die genaueste.

Eine der Standardmethoden zur Messung von Fraktalen ist die Verwendung des Hausdorff Dimension, dh D=log N / log s, wobei N die Anzahl der Teile ist, die ein Fraktal aus jedem Segment erzeugt, und s ist die Größe jedes neuen Teils im Vergleich zum ursprünglichen Segment. Es sieht einfach aus, aber je nach Fraktal kann dies ziemlich schnell kompliziert werden.

Sie können eine unendliche Vielfalt von Fraktalen erzeugen, indem Sie nur einige davon ändern die Anfangsbedingungen einer Gleichung; Hier kommt die Chaostheorie ins Spiel. An der Oberfläche klingt die Chaostheorie wie etwas völlig Unvorhersehbares, aber bei der fraktalen Geometrie geht es darum, die Reihenfolge in dem zu finden, was anfangs chaotisch erscheint. Zählen Sie die Vielzahl von Möglichkeiten, wie Sie diese anfänglichen Gleichungsbedingungen ändern können, und Sie werden schnell verstehen, warum es unendlich viele Fraktale gibt.

Sie haben gewonnen. ‚ Reinigen Sie den Boden jedoch nicht mit dem Menger-Schwamm. Was nützen Fraktale also überhaupt?

Praktische Fraktale

Nachdem Mandelbrot 1975 seine wegweisende Arbeit über Fraktale veröffentlicht hatte, kam 1978 eine der ersten praktischen Anwendungen zustande, als Loren Carpenter einige computergenerierte Berge bauen wollte. Mit Fraktalen, die mit Dreiecken begannen, schuf er eine erstaunlich realistische Bergkette

In den 1990er Jahren ließ sich Nathan Cohen von der Koch-Schneeflocke inspirieren, eine kompaktere Funkantenne zu entwickeln, bei der nur Draht und eine Zange verwendet wurden. Heutzutage verwenden Antennen in Mobiltelefonen Fraktale wie den Menger-Schwamm, das Box-Fraktal und raumfüllende Fraktale, um die Empfangsleistung auf kleinstem Raum zu maximieren [source: Cohen].

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Obwohl wir keine Zeit haben, uns mit allen Verwendungsmöglichkeiten zu befassen, die Fraktale heute für uns haben, Einige andere Beispiele sind Biologie, Medizin, Modellierung von Wassereinzugsgebieten, Geophysik und Meterologie mit Wolkenbildung und Luftströmungen .

Dieser Artikel soll Ihnen den Einstieg in die atemberaubende Welt der fraktalen Geometrie erleichtern. Wenn Sie eine mathematische Neigung haben, möchten Sie diese Welt vielleicht viel mehr mit den auf der nächsten Seite aufgeführten Quellen erkunden. Weniger mathematisch veranlagte Leser möchten vielleicht das unendliche Potenzial der Kunst und Schönheit dieser unglaublichen und komplexen Inspirationsquelle erkunden.

Ursprünglich veröffentlicht: 26. April, 2011

Viele weitere Informationen

  • Zum Thema passende Artikel

    Sauer ces

  • Ballen, Judy. „In der Box denken: Unendlichkeit im Endlichen.“ Surface Design Journal. Seiten 50-53. Herbst 2010.
  • Cohen, Nathan. „Fraktale Antennen, Teil 1.“ Kommunikation vierteljährlich. Sommer 1995.
  • Eglash, Ron. „Afrikanische Fraktale: Modernes Computing und indigenes Design.“ Rutgers Univ. Drücken Sie. 1999.
  • Falconer, KJ „Die Geometrie fraktaler Mengen.“ Cambridge Tracts in Mathematics, 85. Cambridge, 1985.
  • Fractal Foundation. „Online-Fraktalkurs.“ (17. April 2011) http://fractalfoundation.org/resources/lessons/
  • Mandelbrot, Benoit. „Die fraktale Geometrie der Natur.“ Freeman. 1982.
  • Mandelbrot, Benoit. „Fraktale: Form, Zufall und Dimension“ Freeman. 1977.
  • Mandelbrot, Benoit. „Wie lang ist die Küste Englands?: Statistische Selbstähnlichkeit und Bruchdimension“ Science, New Series. Band 156, Nr. 3775. 5. Mai 1967.
  • NOVA. „Jagd auf die verborgene Dimension.“ PBS, 2008. Ursprünglich ausgestrahlt am 28. Oktober 2008. (17. April 2011) http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/hunting-hidden-dimension.html

  • Turcotte, Donald. „Fraktale und Chaos in Geologie und Geophysik.“ Cambridge, 1997.
  • Weisstein, Eric W. „Drachenkurve.“ MathWorld. (22. April 2011) http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html
    Weisstein, Eric W. „Koch Schneeflocke.“ MathWorld. (22. April 2011) http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
    Weisstein, Eric W. „Menger Sponge.“ MathWorld. (22. April 2011) http://mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html
    Weisstein, Eric W. „Sierpiński Sieve.“ MathWorld. (22. April 2011) http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.html
    Weisstein, Eric W. „Seltsamer Attraktor.“ MathWorld. (22. April 2011) http://mathworld.wolfram.com/StrangeAttractor.html
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